B1-029  求所有实数a，使得存在非负实数x₁，x₂，x₃，x₄，x₅满足关系：

【题说】第二十一届(1979年)国际数学奥林匹克题5．本题由以色列提供．

【解】利用柯西不等式及题设条件，有

故中间不等式只能取等号，这意味着在x_k≠0时，

由此推知，x₁，x₂，x₃，x₄，x₅中至多一个非0．因此，只能有下面两种情况：

(1)x₁=x₂=x₃=x₄=x₅=0，此时a=0；

(2)某个x_k=c≠0，其余x_i=0(i≠k)．这时由已知得kc=a，k³c=a²，k⁵c=a³．从而

k²=a，c=k

总之，当且仅当a=0，1，4，9，16，25时，存在非负实数x₁，x₂，x₃，x₄，x₅满足题中三个方程．

B1-030  下列表中的对数值有两个是错误的，请予纠正．

【题说】1981年全国联赛题2．

【解】lg3、lg0.27、lg9的值同为正确或同为错误．因表中只有两处错误，故三者都对．同理，lg2、lg5、lg8、lg6都对．

再若lg7=2(b+c)，则lg14=lg7+lg2=1-a+2b+c，lg0.021=lg3+lg7-3=2a+b+2c-3，lg2.8=2lg2+lg7-1=1-2a+2b．即lg7=2(b+c)对，就推出lg14、lg0.021、lg2.8三个值都错，与题设矛盾，故知lg7不对．应为lg7=lgl4-lg2=2b+c．

lg1.5的值也不对，应为lg1.5=lg3+lg5-1=3a-b+c-1．

 

B1-031  把n²个互不相等的实数排成下表：

a₁₁，a₁₂，…，a_1n

a₂₁，a₂₂，…，a_2n

…

a_n1，a_n2，…，a_nn

取每行的最大数得n个数，其中最小的一个是x；再取每列的最小数，又得n个数，其中最大的一个是y，试比较xⁿ与yⁿ的大小．

【题说】1982年上海市赛二试题 2

【解】设x=a_ij，y=a_pq，则

a_ij≥a_iq≥a_pq

所以x≥y．

(1)当n是奇数时，xⁿ≥yⁿ．

(2)当n是偶数时

(i)如果x≥y≥0，则xⁿ≥yⁿ；

(ii)如果0≥x≥y，则xⁿ≤yⁿ；

(iii)如果x≥0≥y，则当x≥-y时，xⁿ≥yⁿ；当x≤-y时，xⁿ≤yⁿ．

 

B1-032  对任意实数x、y．定义运算x_*y为：

x_*y=ax+by+cxy

其中a、b、c为常数，等式右端运算是通常的实数的加法和乘法．现已知1_*2=3，2_*3=4，并且有一个非零实数d，使得对于任意实数x，都有x_*d=x，求d的值．

【题说】1985年全国联赛一试题 2(4)．原题为填空题．

【解】由所设条件，有

1_*2=a+2b+2c=3

                                                                                                           (1)

2_*3=2a+3b+6c=4

                                                                                                           (2)

x_*d=ax+bd+cxd=(a+cd)x+bd=x

                                                                                                   (3)

由(3)得

a+cd=1

                                                                                                           (4)

bd=0

                                                                                                   (5)

因d≠0，故由(5)式得b=0．再解方程(1)及(2)，得a=5，c=-1，最后由(4)式得d=4．

 

B1-033  </FON