B1-038  设f(z)=z²+az+b是具有复系数a，b的关于复变量z的二次三项式，且对一切z(｜z｜=1)有｜f(z)｜=1．求a和b的值．

【题说】1993年河北省赛二试题1．

【解】令z=±1，±i得

1=｜1+a+b｜

1=｜1-a+b｜

1=｜-1+ia+b｜

1=｜-1-ia+b｜

相加得

4=｜1+a+b｜+｜1-a+b｜+｜-1+ia+b｜+｜-1-ia+b｜

≥｜(1+a+b)+(1-a+b)+(1-ia-b)+(1+ia-b)｜=4

从而1+a+b，1-a+b，1-ia-b，1+ia-b四个复数作为向量来看，方向相同，而它们的长又均为1．于是a=0，b=0．

另一方面，在a=b=0时，f(z)=z²．对一切满足｜z｜=1的z，｜f(z)｜=｜z｜²=1．

 

B1-039  证明：实数x是有理数的充分必要条件是：能从数列x、x+1，…，x+n，…中选出3个不同的项，组成等比数列．

【题说】第二十五届(1993年)加拿大数学奥林匹克题2．

【证】(1)充分性 设x+i、x+j、x+k成等比数列，则

(x+j)²=(x+i)(x+k)

=((x+j)-(j-i))((x+j)+(k-j))

=(x+j)2+(k+i-2j)(x+j)-(k-j)(j-i)

从而 (k+i-2j)(x+j)=(k-j)(j-i)≠0

p+2)q成等比数列．

事实上，这时

 

B1-040  对每一个整数n≥2，确定并证明满足下列等式：

aⁿ=a+1 及 b²ⁿ=b+3a

的两个正实数a，b谁大．

【题说】第二十二届(1993年)美国数学奥林匹克题1．

【解】我们证明对一切n≥2，有a＞b．

显然a≠1，从而(a+1)²＞4a．假设b≥a，则得到如下两个互相矛盾的结果：

及

故a＞b．

 

B1-041  已知n个正整数a_i(1≤i≤n)满足a₁＜a₂＜…＜a_n≤2n．其中任意两个a_i，a_j(i≠j)的最小公倍数都大于2n．

【题说】1994年上海市赛高三二试题1．

【证】将每个a_i写成2^αi(2t_i-1)的形式，其中α_i为非负整数，t_i为自然数．对任意的i≠j，因[a_i，a_j]＞2n，故2t_i-1≠2t_j-1．由此推知，2t₁-1，2t₂-1，…，2t_n-1是1，3，…，2n-1的一个排列．

-1的正奇数．因6t₁-3≠2t₁-1，故存在j＞1，使6t₁-3=2t_j-1．于是

 

B1-043  设K₁＜K₂＜K₃＜…是正整数，且没有两个数是相邻的，S_m=K₁+K₂+…+K_m，m=1，2，3，…．证明：对每一个正整数n，区间[S_n，S_n+1)中至少有一个完全平方数．

【题说】第二十三届(1994年)美国数学奥林匹克题 1．

S_n=K_n+K_n-1+K_n-2+…+K₁

≤K_n+(K_n-2)+(K_n-4)+…+L_n

其中L_n=2，如果K_n是偶数；L_n=1，如果K_n是奇数，由此可得

 

B1-045  求满足下列等式的数a<FONT style="FONT-FAMILY: 宋体; mso-ascii-font-family: 'Times New Roman'; mso-ha