规定：a△=a+(a+1)+(a+2)+…+（a+b-1）,其中a,b表示自然数。

　　例4.    求1△100的值。已知x△10=75,求x.

　　思路导航：

　　（1）原式=1+2+3+…+100=（1+100）×100÷2=5050

　　（2）原式即x+(x+1)+(x+2)+…+（X+9）=75,

　　所以

　　10X+(1+2+3+…+9)=75

　　10x+45=75

　　10x=30

　　x=3

　　二、巩固训练

　　1.    若对所有b,a△b =a×x,x是一个与b无关的常数；a☆b=(a+b)÷2,且（1△3）☆3=1△（3☆3）。

　　求（1△4）☆2的值。

　　分析   注意本题有两种运算，由（1△3）☆3=1△（3☆3），可求出x.

　　解   因为（1△3）☆3=1△（3☆3），所以（1×x）

　　即

　　（x+3）÷2=x

　　x+3=2x

　　x=3

　　因为（1△4）☆2

　　=（1×4）☆2

　　=（4+2）÷2

　　=3

　　2.    如果规定：③=2×3×4，④=3×4×5，⑤=4×5×6，……，⑨=8×9×10，求⑨+⑧-⑦+⑥-⑤+④-③的值。

　　解题思路

　　依题意可以看出：定义的新运算为连续三个数的乘积，而且，⑤里的数就是三个连续数中的中间的哪个数，即③是2，3，4三个连续的乘积，④是3，4，5三个连续睡的乘积，从而不难求出⑨+⑧-⑦+⑥-⑤+④-③的值。

　　解：原式=8×9×10+7×8×9-6×7×8+5×6×7-4×5×6+3×4×5-2×3×4

　　=720+504+-339+210-120+60-24

　　=1014

　　三、能力提升

　　答案

　　（三） 不规则图形面积计算（1）

　　我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算.如下表：

　　实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算.一般我们称这样的图形为不规则图形。

　　那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决了。

　　一、例题与方法指导

　　例1    如右图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米.求阴影部分的面积。

　　思路导航：

　　阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个"空白"三角形（△ABG、△BDE、△EFG）的面积之和。

　　例2        如右图，正方形ABCD的边长为6厘米，△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积.

　　思路导航：

　　∵△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，

　　∴四边形 AECF的面积与△ABE、△ADF的面积都等于正方形ABCD的 。

　　在△ABE中，因为AB=6.所以BE=4，同理DF=4，因此CE=CF=2，

　　∴△ECF的面积为2×2÷2=2。

　　所以S△AEF=S四边形AECF-S△ECF=12-2=10（平方厘米）。

　　例3        两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是10厘米和6厘米。如右图那样重合.求重合部分（阴影部分）的面积。

　　思路导航：

　　在等腰直角三角形ABC中

　　∵AB=10

　　∵EF=BF=AB-AF=10-6=4，

　　∴阴影部分面积=S△ABG-S△BEF=25-8=17（平方厘米）。

　　例4        如右图，A为△CDE的DE边上中点，BC=CD，若△ABC（阴影部分）面积为5平方厘米.

　　求△ABD及△ACE的面积.

　　思路导航：

　　取BD中点F，连结AF.因为△ADF、△ABF和△ABC等底、等高，

　　所以它们的面积相等，都等于5平方厘米.

　　∴△ACD的面积等于15平方厘米，△ABD的面积等于10平方厘米。

　　又由于△ACE与△ACD等底、等高，所以△ACE的面积是15平方厘米。

　　二、巩固训练

　　1.    如右图，在正方形ABCD中，三角形ABE的面积是8平方厘米，它是三角形DEC的面积的 ，求正方形ABCD的面积。

　　解：过E作BC的垂线交AD于F。

　　在矩形ABEF中AE是对角线，所以S△ABE=S△AEF=8.

　　在矩形CDFE中DE是对角线，所以S△ECD=S△EDF。

　　2.    如右图，已知：S△ABC=1，AE=ED,BD= BC.求阴影部分的面积。

　　解：连结DF。∵AE=ED，

　　∴S△AEF=S△DEF；S△ABE=S△BED

　　3.    如右图，正方形ABCD的边长是4厘米，CG=3厘米，矩形DEFG的长DG为5厘米，求它的宽DE等于多少厘米？

　　解：连结AG，自A作AH垂直于DG于H，在△ADG中，AD=4，DC=4（AD上的高）.

　　∴S△AGD=4×4÷2=8，又DG=5，

　　∴S△AGD=AH×DG÷2，

　　∴AH=8×2÷5=3.2（厘米），